問題

解法

2進数での各桁 $i$ における $f(X)$ は、各 $A_{i}$ の中で桁 $i$ が0である個数と1である個数の多い方を $2^{i}$ にかけることで求めることができる。

ここでネックとなるのが $K$ 以下という条件だが、これは桁DPを考えれば良い。
つまり、上位の桁から、 $K$ 未満が確定している場合と $K$ と途中まで一致している場合に分けて処理するということである。
$K$ 未満が確定している場合については愚直に遷移すれば良いが、 $K$ と途中まで一致している場合については、 $K$ の $i$ 桁目が1のとき、 $X$ の $i$ 桁目を0にすれば $K$ 未満が確定している場合へ遷移できることを考慮する必要がある。