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D - Checker

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累積和を何も考えずに書けるようにする！ - Qiita

ARC 089 D - Checker (500) - kurarrr's memooo

解法

マス $(x,y)$ が白の時、マス $(x+K,y),(x,y+K)$ は黒（逆も然り）
マス $(x,y)$ が黒の時、マス $(x+2K,y),(x,y+2K)$ は黒（白の時も然り）

よって、調べる範囲は $2K*2K$ で済む。
この範囲の中から、斜めに接続している $K*K$ の正方形2つの総和の最大値を求めれば良い。

総和の求め方としては、二次元累積和を用いる。
二次元累積和については、この記事以上に説明できることはない。

斜めに接続している正方形2つの種類は、愚直に探索すれば $2K*2K$ 個である。
しかし、この探索ではループを考慮しなければならないため、二次元累積和の範囲が $4K*4K$ になってしまう。
勿論、 $16K^2$ は制約的に問題ないためこの方法でも良いのだが、この記事で探索の個数が $(K+1)*(K+1)$ 個でも可能であることが判明したため、そちらで実装した。

具体的な方法としては、 $2K*2K$ の範囲に斜めに接続している $K*K$ の正方形2つがどのような形で配置されているかを考える。
正方形2つがそれぞれループを持っている場合は存在せず、正方形2つがループなく存在する方法は内部に対角に配置する2通りしかない。
つまり、それ以外の場合はループのない正方形とループのある正方形の2つによって構成されているということである。
これは、ループのない正方形とループのある正方形が対になっていることを表しており、ループのある正方形の総和は $N$ からループのない正方形の総和を引いたものとなることがわかる。
よって、ループのない正方形を全探索すれば良い。
正方形2つがループなく存在する場合に探索が重複するが、気にする必要はないだろう。

コード

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
  cin.tie(0);
  ios::sync_with_stdio(false);

  int N, K; cin >> N >> K;
  int K2 = K * 2;
  
  vector<vector<int>> a(K2, vector<int>(K2));
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    int x, y; cin >> x >> y;
    char c; cin >> c;
    if (c == 'W') x += K;
    a[x%K2][y%K2]++;
  }

  vector<vector<int>> cs(K2+1, vector<int>(K2+1));
  for (int i = 0; i < K2; i++) {
    for (int j = 0; j < K2; j++) {
      cs[i+1][j+1] = cs[i][j+1] + cs[i+1][j]
                   - cs[i][j] + a[i][j];
    }
  }

  auto query = [&](int x1, int y1, int x2, int y2) {
    return cs[x2][y2] - cs[x1][y2] - cs[x2][y1] + cs[x1][y1];
  };

  int ans = 0;
  for (int i = 0; i <= K; i++) {
    for (int j = 0; j <= K; j++) {
      int res = query(0, 0, i, j)
              + query(i, j, i+K, j+K)
              + query(0, j+K, i, K2)
              + query(i+K, 0, K2, j)
              + query(i+K, j+K, K2, K2);
      ans = max(ans, res);
      ans = max(ans, N-res);
    }
  }
  cout << ans << "\n";
}